BolzanoWeierstrass 发音

定义 Definition

BolzanoWeierstrass 定理（聚点定理）：在欧几里得空间（常见为 \(\mathbb{R}^n\)）中，任何有界序列都至少存在一个收敛子序列。等价表述之一是：\(\mathbb{R}^n\) 中任何无限有界集合都有聚点（极限点）。该定理是实分析与拓扑中“紧性/序列紧性”思想的重要基础。（注：在更一般的空间里，这种等价关系不一定成立。）

发音 Pronunciation (IPA)

/bltsno varstrs/

例句 Examples

Every bounded sequence in \(\mathbb{R}\) has a convergent subsequence by the BolzanoWeierstrass theorem.
根据 BolzanoWeierstrass 定理，\(\mathbb{R}\) 中每个有界序列都有一个收敛子序列。

Using BolzanoWeierstrass, we extract a convergent subsequence from the bounded sequence and then show its limit lies in the closed set.
利用 BolzanoWeierstrass 定理，我们从有界序列中抽取收敛子序列，并进一步证明其极限属于该闭集。

词源 Etymology

该名称来自两位数学家：Bernard Bolzano（伯纳德博尔查诺）与 Karl Weierstrass（卡尔魏尔施特拉斯）。它反映了 19 世纪实分析逐步走向严格化的历史：用“有界”“子序列”“收敛”等概念精确刻画直观的“不会跑到无穷远、因此总能聚到某处”的思想。